もう中学生のドリル(数学) 覗き見

何々？！

【問１】
互いに平行な線分ｌ，ｍがあり、これらと直角に交わる線分ｎがある。それぞれの交点をＡ，Ｂとする。
点Ａから線分ｍに向かい任意の直線ｍ'を引き、ｍ’とｍとの交点をＣとする。また、点Ｂから直線ｍ’と交差するように線分ｌに向かい任意の直線ｌ’を引き、ｌ’とｌとの交点をＤとする。
ｌ’とｍ’の交点をＥ、点Ｅから線分ｎに垂直に交わる線を引き、その交点をＦとする。
ＡＤ＝a、ＢＣ＝ｂとしたとき、ＥＦの長さを求めよ。

【回答】
ＡＢ＝c、ＡＦ＝c1、ＢＦ＝c2、ＥＦ＝ｘとおく。
△ＡＤＢ∽△ＦＥＢより、
a:x＝c:c2
c2=c*x/a　…①
また、△ＡＢＣ∽△ＡＦＥより、
b:x＝c:c1
c1=c*x/b　…②
①+②として、
c1+c2＝c*x/a＋c*x/b＝c*x（1/a+1/b)＝c*x*（a+b）/ab
c=c1+c2であるから、
c=c*x*（a+b）/ab
x=c/c*ab／(a+b)＝ab/(a+b)
こたえ　ab/(a+b)

苦吟して漸く解いた途端、横にいた新高校一年生に「それは公式化されている」と平然と言われて、肩を落とす。

（注）問題文は作図を行う指導を含意しているものの、よりシンプルに台形問題とする方法もある。
『台形ＡＢＣＤ（ＡＤ//ＢＣ、∠Ａ＝∠Ｂ＝９０゜）の対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとし、ＥからＡＢに垂線を引き、その交点をＦとする。ＡＤ＝a、ＢＣ＝ｂとしたとき、ＥＦの長さを求めよ。』

【問２】
太郎君は花子さんの家に遊びに行こうと家を出てしばらく歩いた途中で、買物の用事を思い出し、用事のある店まで一旦引き返し、買物をすませたあと、再び花子さんの家に行った。帰りは、そのまま寄り道をせずに花子さんの家から太郎君の家まで帰ってきた。太郎君の家から買物の用事を思い出した地点までの距離をｘメートル、途中立ち寄った店から花子さんの家までをｙメートルとしたとき、太郎君の歩いた距離を求めよ（店内での移動距離等は含めない）。

（回答）
買物の用事を思い出した地点から店までの距離をｚメートルとする。
行きの距離：x+z+y　…①
帰りの距離：y+x-z　…②
合計の距離：①+②より、（x+y+z）+（x+y-z）＝2(x+y)
こたえ　2(x+y)メートル

何だか小学校の引っ掛け問題ぽいような気がする。

【問３】
一定の速さで走っている電車が、長さt1メートルの鉄橋をわたり始めてからわたり終えるまでにs1秒かかった。また、長さt2メートルのトンネルに電車全体が入っていた時間はs2秒であった。この電車の長さと走る速度を求めよ。

（回答）
電車の長さをxメートル、電車の速度をyメートル/秒とする。
鉄橋をわたる速度　　y=(t1+x)/s1　…①
トンネルくぐる速度　y=(t2-x)/s2　…②
①、②から、
(t1+x)/s1=(t2-x)/s2
両辺にs1*s2を掛けて
s2（t1+x）＝s1（t2-x）
（s1+s2）x＝s1*t2-s2*t1
ｘ＝（s1*t2-s2*t1)/（s1+s2）…③
③を①に代入して、
ｙ＝｛t1+（s1*t2-s2*t1)/（s1+s2）｝/s1
　＝｛（(s1*t1+s2*t1)+（s1*t2-s2*t1)）/（s1+s2）｝/s1
　＝｛s1(t1+t2)/（s1+s2）｝/s1
　＝(t1+t2)/（s1+s2）
こたえ　電車の長さ(s1*t2-s2*t1)/（s1+s2）メートル
　　　　電車の速さ(t1+t2)/（s1+s2）メートル/秒

電車の先頭と尻がそれぞれどの位置にある時の時間を計測したものかということを問う。文章力問題かしら。

【問４】
一定量が流れる蛇口から水かめに水を充たす。水かめのｐ％まで水が充たされるまでに要した時間をqとした場合、水かめ全体に水が充たされる時間を求めよ。

（答）
水かめ全体に水が充たされる時間ｔ：ｑ＝１００：ｐ
したがって、ｔ＝100＊q/p
こたえ　100＊q/p

これも小学校の復習問題か。

【問５】
4本の辺の長さ w,x,y,z(xとzは平行,x＞z )である台形ＡＢＣＤの面積を求めよ。

（答）
点ＡからＣＤに平行になるような直線を引き、ＢＣとの交点をＣ’とする。
△ＡＢＣ’の面積Ｓは、ヘロンの公式より、
Ｓ＝√s(s-y)（s-w)（s-(x-z)）　…①
ただし、s＝1/2（y+w+(x-z)）　　…②
この三角形の高さをhとすると、
Ｓ＝1/2（x-z）*h
ｈ＝２Ｓ/(x-z)　…③
台形ＡＢＣＤの面積Ｑは、台形の面積公式より
Ｑ＝(x+z)*h/2　…④
④に③を代入して
Ｑ＝(x+z)*2Ｓ/(x-z)*2＝Ｓ*(x+z)/(x-z)　…⑤
⑤に①を代入して
Ｑ＝√｛s(s-y)（s-w)（s-(x-z)）｝*(x+z)/(x-z)　　…⑥
⑥に②を代入して
Ｑ＝√｛1/2（y+w+(x-z)）*1/2（y+w+(x-z)-2y)*1/2（y+w+(x-z)-2w)*1/2（y+w+(x-z)-2(x-z))｝*(x+z)/(x-z)
　＝√{1/16（y+w+x-z)*(w+x-z-y)*(y+x-z-w)*(y+w+z-x)｝*(x+z)/(x-z)
　＝1/4(x+z)/(x-z)*√｛（w+x+y-z)*(w+x-y-z)*(-w+x+y-z)*(w-x+y+z)｝
こたえ　1/4(x+z)/(x-z)*√{(w+x+y-z)*(w+x-y-z)*(-w+x+y-z)*(w-x+y+z)｝

ヘロンの公式は高校で習うのだろう。確か正弦定理とか余弦定理を使って解いた。
と思ったら、三角関数を使わなくても、解ける。問５と同じような解法がある。（新高校一年生は知っていた。）

【問５’】
三角形ＡＢＣの３辺の長さをそれぞれa,b,cとした時の三角形の面積を求めよ。
（答）
点ＡからＢＣと垂直に交わる線を引き、その交点をＨ、ＡＨ＝h、ＢＨ＝xとする。
△ＡＢＨは直角三角形であることから、三平方の定理により、
a^2＝x^2+h^2　…①
h＝√（a+x)*(a-x)　…①’
同様に、△ＡＣＨは直角三角形であることから、三平方の定理により、
b^2＝(c-x)^2+h^2　…②
①、②より、
a^2-b^2＝x^2-(c-x)^2
a^2-b^2＝2cx-c^2
x＝（a^2-b^2+c^2）/2c　…③
③を①’に代入して、
h＝√｛（a+（a^2-b^2+c^2）/2c）*（a-（a^2-b^2+c^2）/2c）｝
＝√｛ (a^2-b^2+c^2+2ac）/2c*（-（a^2-b^2+c^2-2ac）/2c）｝
＝√｛（(a+c)^2-b^2）/2c｝*-｛（(a-c)^2-b^2）/2c｝
＝√｛（(a+c)+b)*((a+c)-b)/2c*（(a-c)+b)*-((a-c)-b)/2c｝　…④
△ＡＢＣの面積をＳとすると、
Ｓ＝1/2ch
上式に④を代入して、
Ｓ＝1/2c*√｛（(a+c)+b)*((a+c)-b)/2c*（(a-c)+b)*-((a-c)-b)/2c｝
　＝√[1/4*c^2｛（(a+c)+b)*((a+c)-b)/2c*（(a-c)+b)*-((a-c)-b)/2c｝]
　＝√｛（(a+c)+b)/2*((a+c)-b)/2*（(a-c)+b)/2*-((a-c)-b)/2｝
　＝√｛(a+b+c)/2*((a+b+c)-2b)/2*（(a+b+c)-2c)/2*((a+b+c)-2a)/2｝　…⑤
s=(a+b+c)/2とおくと、⑤は
Ｓ＝√｛s(s-a)(s-b)(s-c)｝
∵

紀元前の人の頭脳に漸く辿り着く。
頭の中で、「為になったねえ」「為になったよお」という声が反響をしている。ベタで恥ずかしい。嗚呼。

本日の音楽♪
「Starting Over」（John Lennon）